TRANSFORMASI FOURIER

Istilah Fourier digunakan untuk menghormati Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830), matematikawan yang memecahkan persamaan differensial parsial dari model difusi panas, beliau memecahkannya dengan menggunakan deret tak hingga dari fungsi-fungsi trigonometri.
 

   

Analisis Fourier adalah metoda untuk mendekomposisi sebuah gelombang seismik menjadi beberapa gelombang harmonik sinusoidal dengan frekuensi berbeda-beda.

Deret Fourier adalah penguraian fungsi periodik menjadi jumlahan fungsi-fungsi berosilasi, yaitu fungsi sinus dan kosinus, ataupun eksponensial kompleks.

Transformasi Fourier adalah sebuah transformasi integral yang menyatakan kembali sebuah fungsi dalam fungsi basis sinusioidal, yaitu sebuah fungsi sinusoidal penjumlahan atau integral dikalikan oleh beberapa koefisien (amplitudo). Ada banyak variasi yang berhubungan dekat dari transformasi ini tergantung jenis fungsi yang ditransformasikan. Atau dengan pengertian lain, Transformasi Fourier adalah metoda untuk mengubah gelombang seismik dalam domain waktu menjadi domain frekuensi. Proses sebaliknya adalah Inversi Transformasi Fourier (Inverse Fourier Transform).

Bagaimana Transformasi Fourier Bekerja?

Transformasi Fourier mendekomposisi sinyal ke bentuk fungsi eksponensial dari frekuensi yang berbeda-beda. Caranya adalah dengan didefinisikan ke dalam dua persamaan berikut:

Dalam persamaan tersebut, t adalah waktu dan f adalah frekuensi. x merupakan notasi sinyal dalam ruang waktu dan X adalah notasi untuk sinyal dalam domain frekuensi. Persamaan (1) disebut Transformasi Fourier dari x(t) sedangkan persamaan (2) disebut Invers Transformasi Fourier dari X(f), yakni x(t). Persamaan (1) dapat juga ditulis sebagai :

cos(2_ft) + j sin(2_ft)   .....(3)

Transformasi Fourier dapat menangkap informasi apakah suatu sinyal memiliki frekuensi tertentu ataukah tidak, tapi tidak dapat menangkap dimana frekuensi itu terjadi. Misalnya kita punya dua sinyal yang berbeda. Misalkan pula keduanya mempunyai komponen spectral yang sama. Katakan sinyal pertama mempunyai 4 frekuensi muncul bersamaan, dan yang satu lagi mempunyai 4 frekuensi muncul bergantian. Transformasi Fourier keduanya sama sebagaimana ditunjukkan pada gambar 1 dan gambar 2.

Contoh:

     
     

Dari sini dapat dilihat bahwa Transformasi fourier tidak sesuai bila digunakan terhadap sinyal yang nonstasioner.

TRANSFORMASI FOURIER  (lanjutan)

I.      Pasangan-Pasangan Transformasi Fourier untuk Beberapa Fungsi Waktu Sederhana

Sekarang kita akan mencari beberapa transformasi Fourier untuk beberapa fungsi waktu sederhana, diantaranya:

1.      Transformasi Fourier untuk fungsi impul satuan [d(t-t_o)]

f(t) = d(t-t_o) F(jw) = ?

Maka :

d(t-t_o)

Jika f(t) = d(t) , maka transformasi Fouriernya menjadi

d(t) 1

2.      Melanjutkan point 1 diatas, kita hendak mencari f(t) jika diketahui:

F(jw) = d(w-w_o)

Sekarang dapat kita tulis:

d(w-w_o)

maka,

2p d(w-w_o)

dengan perubahan tanda, dapat kita tulis:

2p d(w+w_o)

Jelas bahwa fungsi waktu adalah kompleks pada persamaan diatas tidak ditemui didalam laboratorium / kenyataan. Akan tetapi fungsi waktu seperti cos w_ot, misalnya, dapat dihasilkan dengan perlengkapan laboratorium. Akan tetapi kita tahu, menurut identitas Euler:

cos w_ot = ½ + ½

dan mudah dilihat dari sifat transformasi Fourier:

p d(w-w_o) + p d(w+w_o)

Maka, kita peroleh:

cos w_ot p d(w-w_o) + p d(w+w_o)

3.      Dari transformasi Fourier:

2p d(w+w_o)

Jika kita pilih : w_o = 0 , maka didapat:

1 2p d(w)  

Jika 1 kita kalikan dengan konstanta K, maka didapat:

K 2pK d(w) 

4.  Sebagai contoh lain, kita akan mendapatkan transformasi Fourier dari sebuah fungsi singularitas yang dikenal sebagai fungsi signum, sgn (t), yang didefinisikan oleh: - 1 t < >

sgn (t) =     t > 0

atau:

sgn (t) = u(t) – u(-t)

Jika fungsi signum diatas kita substitusikan ke dalam persamaan yang mendefinisikan transformasi Fourier, maka kita akan menghadapi sebuah ungkapan yang tak dapat ditentukan seteah mensubstitusikan limit integrasi. Soal yang sama selalu timbul setiap kali kita mencoba transformasi Fourier dari sebuah fungsi waktu yang yak mendekati nol untuk mendekati tak berhingga. Untuk menghindari keadaan tersebut (hasil integrasi yang tak dapat ditentukan), fungsi signum kita nyatakan dalam bentuk: sgn (t)

Perhatikan pernyataan dalam kurung mendekati nol jika menjadi sangat besar. Dengan menggunakan menggunakan transformasi Fourier , maka kita dapatkan:

Komponen riilnya nol, karena sgn(t) adalah fungsi simetri ganjil. Maka:  sgn(t)

5.  Sebagai contoh selanjutnya, kita akan mencari transformasi Fourier dari fungsi tangga satuan [u(t)]. Melalui fungsi signum diatas, fungsi tangga satuan dapat dinyatakan dengan:  u(t) = ½ + ½ sgn(t)

Sehingga transformasi Fourier dari fungsi tangga satuan adalah:  u(t)

6.   Sebagai contoh terakhir, kita akan mencari transformasi Fourier dari fungsi eksponensial e^-at u(t).

Maka:  e^-at u(t)

Di bawah ini, terdapat tabel transformasi Fourier dari beberapa fungsi waktu sederhana sekaligus sebagai rangkuman dari pembahasan diatas.

    Tabel: Beberapa Pasangan Transformasi Fourier yang Umum Dikenal

No	f(t)	= F(jw)
1	d(t – to)	e-jwto
2	d(t )	1
3	e-jwot	2pd(w-wo)
4	1	2pd(w)
5	1/A	-
6	0	wd(w)
7	cos wot	p [d(w-wo) + d(w+wo)]
8	sin wot	jp[ d(w+wo) + p d(w-wo)]
9	sgn(t0	-
10	u(t)	-
11	e-at u(t)	-
12	e-at cos wd t u(t)	-
13	e-at sin wd t u(t)	-
14	u(t+½T) – u(t-½T)	-

 

II.    Aplikasi Transformasi Fourier pada Sistem / Rangkaian Linear

Sebelum kita membahas aplikasi Transformasi Fourier pada sistem / rangkaian linear terlebih dulu akan dibahas beberapa hal sebagai penunjang, yaitu: 

1. Fungsi Pemindah (Transfer Function) / Fungsi Sistem H(jw)

Fungsi Pemindah / Fungsi Sistem adalah perbandingan keluaran / output dalam bentuk transformasi Fourier dengan masukan/input dalam bentuk fungsi Fourier juga.

2. Respon Impuls  h(t)

Respon impuls adalah respon atau fungsi keluaran dalam fungsi t, jika masukannya adalah impuls satuan [d(t)].

3. Hubungan Respon Impuls dan Fungsi Pemindah / Fungsi Sistem

Kita lihat pada persamaan H(jw), jika inputnya impuls satuan [d(t)], maka F_i(jw) =1 sehingga H(jw) = F_o(jw) artinya keluarannya adalah fungsi pemindah H(jw), sedangkan menurut definisi jika masukannya adalah impuls satuan, maka keluarannya dalam fungsi t adalah respons impuls h(t). Maka dapat diambil kesimpulan fungsi pemindah H(jw) transformasi Fourier dari respons impuls h(t) dan sebaliknya respons impuls h(t) adalah inverse transformasi Laplace dari H(jw) atau dapat digambarkan:  h(t) H(jw)

Referensi:

Mao-Ching Chiu and Jung-Shan Lin. 2007. Communication Engineering. Asia Pte Ltd. 

Polyanin and Manzhirov. 1998. Handbook of Fourier Transformation. Boca Raton: CRC Press.