TRANSFORMASI
FOURIER
Istilah Fourier digunakan untuk
menghormati Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830), matematikawan yang
memecahkan persamaan differensial parsial dari model difusi panas, beliau
memecahkannya dengan menggunakan deret tak hingga dari fungsi-fungsi
trigonometri.
Analisis Fourier adalah metoda untuk mendekomposisi sebuah gelombang
seismik menjadi beberapa gelombang harmonik sinusoidal dengan frekuensi
berbeda-beda.
Deret Fourier adalah
penguraian fungsi periodik menjadi jumlahan fungsi-fungsi
berosilasi, yaitu fungsi sinus dan kosinus, ataupun eksponensial kompleks.
Transformasi
Fourier adalah sebuah transformasi integral
yang menyatakan kembali sebuah fungsi dalam fungsi basis
sinusioidal,
yaitu sebuah fungsi sinusoidal penjumlahan atau integral dikalikan oleh
beberapa koefisien (amplitudo). Ada banyak variasi yang berhubungan
dekat dari transformasi ini tergantung jenis fungsi yang ditransformasikan.
Atau dengan pengertian lain, Transformasi
Fourier adalah metoda untuk mengubah gelombang seismik dalam domain waktu
menjadi domain frekuensi. Proses sebaliknya adalah Inversi Transformasi
Fourier (Inverse Fourier Transform).
Bagaimana Transformasi Fourier Bekerja?
Transformasi Fourier mendekomposisi sinyal
ke bentuk fungsi eksponensial dari frekuensi yang berbeda-beda. Caranya adalah
dengan didefinisikan ke dalam dua persamaan berikut:
Dalam persamaan tersebut, t adalah waktu
dan f adalah frekuensi. x merupakan notasi sinyal dalam ruang waktu dan X
adalah notasi untuk sinyal dalam domain frekuensi. Persamaan (1) disebut
Transformasi Fourier dari x(t) sedangkan persamaan (2) disebut Invers
Transformasi Fourier dari X(f), yakni x(t). Persamaan (1) dapat juga ditulis
sebagai :
cos(2_ft) +
j sin(2_ft) .....(3)
Transformasi Fourier dapat menangkap
informasi apakah suatu sinyal memiliki frekuensi tertentu ataukah tidak,
tapi tidak dapat menangkap dimana frekuensi itu terjadi. Misalnya kita
punya dua sinyal yang berbeda. Misalkan pula keduanya mempunyai komponen
spectral yang sama. Katakan sinyal pertama mempunyai 4 frekuensi muncul
bersamaan, dan yang satu lagi mempunyai 4 frekuensi muncul bergantian.
Transformasi Fourier keduanya sama sebagaimana ditunjukkan pada gambar 1 dan
gambar 2.
Contoh:
Dari sini dapat dilihat bahwa
Transformasi fourier tidak sesuai bila digunakan terhadap sinyal yang nonstasioner.
TRANSFORMASI
FOURIER (lanjutan)
I. Pasangan-Pasangan Transformasi
Fourier untuk Beberapa Fungsi Waktu Sederhana
Sekarang kita akan mencari beberapa transformasi Fourier untuk beberapa fungsi waktu
sederhana, diantaranya:
1.
Transformasi
Fourier untuk fungsi impul satuan [d(t-to)]
f(t) =
d(t-to) F(jw) = ?
Maka :
d(t-to)
Jika f(t)
= d(t) , maka transformasi Fouriernya menjadi
d(t)
1
2.
Melanjutkan
point 1 diatas, kita hendak mencari f(t) jika diketahui:
F(jw) =
d(w-wo)
Sekarang
dapat kita tulis:
d(w-wo)
maka,
2p d(w-wo)
dengan
perubahan tanda, dapat kita tulis:
2p
d(w+wo)
Jelas
bahwa fungsi waktu adalah kompleks pada persamaan diatas tidak ditemui didalam
laboratorium / kenyataan. Akan tetapi fungsi waktu seperti cos wot,
misalnya, dapat dihasilkan dengan perlengkapan laboratorium. Akan tetapi kita
tahu, menurut identitas Euler:
cos wot
= ½ + ½
dan mudah
dilihat dari sifat transformasi Fourier:
p d(w-wo)
+ p d(w+wo)
Maka, kita
peroleh:
cos
wot p d(w-wo) + p d(w+wo)
3. Dari
transformasi Fourier:
2p d(w+wo)
Jika kita
pilih : wo = 0 , maka didapat:
1
2p d(w)
Jika 1
kita kalikan dengan konstanta K, maka didapat:
K
2pK d(w)
4. Sebagai
contoh lain, kita akan mendapatkan transformasi Fourier dari sebuah fungsi
singularitas yang dikenal sebagai fungsi signum, sgn (t), yang didefinisikan
oleh: - 1 t
< >
sgn (t) =
t
> 0
atau:
sgn (t) =
u(t) – u(-t)
Jika
fungsi signum diatas kita substitusikan ke dalam persamaan yang mendefinisikan
transformasi Fourier, maka kita akan menghadapi sebuah ungkapan yang tak dapat
ditentukan seteah mensubstitusikan limit integrasi. Soal yang sama selalu
timbul setiap kali kita mencoba transformasi Fourier dari sebuah fungsi waktu
yang yak mendekati nol untuk mendekati tak berhingga. Untuk menghindari keadaan tersebut (hasil integrasi
yang tak dapat ditentukan), fungsi signum kita nyatakan dalam bentuk: sgn (t)
Perhatikan
pernyataan dalam kurung mendekati nol jika menjadi sangat besar. Dengan
menggunakan menggunakan transformasi Fourier , maka kita dapatkan:
Komponen
riilnya nol, karena sgn(t) adalah fungsi simetri ganjil. Maka: sgn(t)
5. Sebagai contoh selanjutnya, kita akan mencari transformasi Fourier dari fungsi tangga satuan [u(t)]. Melalui fungsi signum diatas, fungsi tangga satuan dapat dinyatakan dengan: u(t) = ½ + ½ sgn(t)
5. Sebagai contoh selanjutnya, kita akan mencari transformasi Fourier dari fungsi tangga satuan [u(t)]. Melalui fungsi signum diatas, fungsi tangga satuan dapat dinyatakan dengan: u(t) = ½ + ½ sgn(t)
Sehingga
transformasi Fourier dari fungsi tangga satuan adalah: u(t)
6. Sebagai
contoh terakhir, kita akan mencari transformasi Fourier dari fungsi eksponensial
e-at u(t).
Maka: e-at
u(t)
Di bawah
ini, terdapat tabel transformasi Fourier dari beberapa fungsi waktu sederhana
sekaligus sebagai rangkuman dari pembahasan diatas.
Tabel:
Beberapa Pasangan Transformasi Fourier yang Umum Dikenal
f(t)
|
= F(jw)
|
|
1
|
d(t – to)
|
e-jwto
|
2
|
d(t )
|
1
|
3
|
e-jwot
|
2pd(w-wo)
|
4
|
1
|
2pd(w)
|
5
|
1/A
|
- |
6
|
0
|
wd(w)
|
7
|
cos wot
|
p [d(w-wo) + d(w+wo)]
|
8
|
sin wot
|
jp[ d(w+wo) + p d(w-wo)]
|
9
|
sgn(t0
|
- |
10
|
u(t)
|
- |
11
|
e-at u(t)
|
- |
12
|
e-at cos wd t
u(t)
|
- |
13
|
e-at sin wd t
u(t)
|
- |
14
|
u(t+½T) – u(t-½T)
|
- |
II.
Aplikasi
Transformasi Fourier pada Sistem / Rangkaian Linear
Sebelum kita
membahas aplikasi Transformasi Fourier pada sistem / rangkaian linear terlebih
dulu akan dibahas beberapa hal sebagai penunjang, yaitu:
1. Fungsi
Pemindah (Transfer Function) / Fungsi Sistem H(jw)
Fungsi
Pemindah / Fungsi Sistem adalah perbandingan keluaran / output dalam bentuk
transformasi Fourier dengan masukan/input dalam bentuk fungsi Fourier juga.
2. Respon
Impuls h(t)
Respon
impuls adalah respon atau fungsi keluaran dalam fungsi t, jika masukannya
adalah impuls satuan [d(t)].
3. Hubungan
Respon Impuls dan Fungsi Pemindah / Fungsi Sistem
Kita lihat
pada persamaan H(jw), jika inputnya impuls satuan [d(t)], maka Fi(jw)
=1 sehingga H(jw) = Fo(jw) artinya keluarannya adalah fungsi
pemindah H(jw), sedangkan menurut definisi jika masukannya adalah impuls
satuan, maka keluarannya dalam fungsi t adalah respons impuls h(t). Maka dapat
diambil kesimpulan fungsi pemindah H(jw) transformasi Fourier dari respons impuls
h(t) dan sebaliknya respons impuls h(t) adalah inverse transformasi Laplace dari
H(jw) atau dapat digambarkan: h(t)
H(jw)
Referensi:
Mao-Ching Chiu and Jung-Shan Lin. 2007. Communication Engineering. Asia Pte Ltd.
Polyanin and Manzhirov. 1998. Handbook of Fourier Transformation. Boca Raton: CRC Press.